Question

8．若x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，則$\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{3}}}$-$\root{3}{{x}^{4}-{x}^{2}}$的值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先求出$\frac{1}{x}$和x-$\frac{1}{x}$的值，再根據(jù)立方根和算術(shù)平方根定義進行變形，再代入求出即可．

解答 解：∵x═$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜0，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{1-\sqrt{5}}$=$\frac{2（1+\sqrt{5}）}{（1-\sqrt{5}）（1+\sqrt{5}）}$=-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$＜0，
x-$\frac{1}{x}$=1，
∴$\sqrt{\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{3}}}$-$\root{3}{{x}^{4}-{x}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}（x-\frac{1}{x}）}$-$\root{3}{{x}^{3}（x-\frac{1}{x}）}$
=-$\frac{1}{x}$$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$-x$\root{3}{x-\frac{1}{x}}$
=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{1}$-$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$\root{3}{1}$
=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了二次根式的化簡和求值的應(yīng)用，能根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵，難度適中．