Question

7．如圖，在矩形AOBC中，AO=3，BO=4，⊙O的半徑為1，點(diǎn)M是矩形對(duì)角線AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M做⊙O的一條切線MN，切點(diǎn)為N，則切線長(zhǎng)MN的最小值是$\frac{\sqrt{119}}{5}$．

Answer 1

分析 由MN為⊙O切線，推出ON⊥MN，在Rt△OMN中，MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{O{M}^{2}-{1}^{2}}$，當(dāng)OM最小時(shí)，MN最小，而當(dāng)OM⊥AB時(shí)，OM最小，此時(shí)OM=$\frac{OA•OB}{AB}$，由此即可解決問(wèn)題．

解答 解：連結(jié)ON、如圖，
在Rt△AOB中，∵OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵M(jìn)N為⊙O切線，
∴ON⊥MN，
在Rt△OMN中，MN=$\sqrt{O{M}^{2}-O{N}^{2}}$=$\sqrt{O{M}^{2}-{1}^{2}}$，
當(dāng)OM最小時(shí)，MN最小，
而當(dāng)OM⊥AB時(shí)，OM最小，此時(shí)OM=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴MN的最小值為=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{119}}{5}$．
故答案為$\frac{\sqrt{119}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．