Question

12．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+m=x與x²+mx-4=0有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根．
（1）試求滿足要求的所有m；
（2）選定上述m中的最小一個(gè)，若s是對(duì)應(yīng)方程x²+mx-4=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根，試求代數(shù)式$\frac{3}{s}$+$\frac{3}{2-s}$的值．

Answer 1

分析 （1）先利用因式分解法求出方程x²-mx+m=x的根為x=m或1，再把x=m代入x²+mx-4=0，求得m=±$\sqrt{2}$；把x=1代入x²+mx-4=0，求得m=3；
（2）先由（1）可得m=-$\sqrt{2}$，再解方程x²-$\sqrt{2}$x-4=0，求出x=2$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$，再分別代入$\frac{3}{s}$+$\frac{3}{2-s}$=$\frac{3（2-s）+3s}{s（2-s）}$=$\frac{6}{2s-{s}^{2}}$，計(jì)算即可求解．

解答 解：（1）∵x²-mx+m=x，
∴x²-（m+1）x+m=0，
∴（x-m）（x-1）=0，
∴x=m或1．
把x=m代入x²+mx-4=0，得m²+m•m-4=0，
解得m=±$\sqrt{2}$；
把x=1代入x²+mx-4=0，得1²+m•1-4=0，
解得m=3．
故滿足要求的所有m的值為±$\sqrt{2}$或3；

（2）由題意可得m=-$\sqrt{2}$，
解方程x²-$\sqrt{2}$x-4=0，
解得x=$\frac{\sqrt{2}±\sqrt{18}}{2}$，
x=2$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$．
$\frac{3}{s}$+$\frac{3}{2-s}$=$\frac{3（2-s）+3s}{s（2-s）}$=$\frac{6}{2s-{s}^{2}}$，
當(dāng)s=2$\sqrt{2}$時(shí)，原式=$\frac{6}{4\sqrt{2}-8}$=-$\frac{3\sqrt{2}+6}{4}$；
當(dāng)s=-$\sqrt{2}$時(shí)，原式=$\frac{6}{-2\sqrt{2}-2}$=-3$\sqrt{2}$+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的解法，正確求出方程x²-mx+m=x的根是解題的關(guān)鍵．