Question

20．閱讀題：一元二次方程ax²+bx+c=0（其中a≠0，c≠0）的二根為x₁和x₂，請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)新的一元二次方程，使方程的二根適是原方程二根的3倍．?dāng)?shù)學(xué)老師張老師給出了一種方法是：設(shè)新方程的根是y，則y=3x，得x=$\frac{y}{3}$代入原方程得$a{（{\frac{y}{3}}）^2}+b（{\frac{y}{3}}）+c=0$變形得ay²+3by+9c=0此方程即為所求，這種利用方程根的代換求方程的方法叫換根法．解答：
（1）已知方程x²+x-2=0，求一個(gè)新方程使它的根分別是已知方程的相反數(shù)，所求方程為y²-y-2=0．
（2）已知關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是原方程根的倒數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求方程的根為y，則y=-x，則x=-y．將其代入已知方程，然后將其轉(zhuǎn)化為一般形式即可；
（2）設(shè)所求方程的根為y，則y=$\frac{1}{x}$，將其代入已知方程，然后將其轉(zhuǎn)化為一般形式即可．

解答 解：（1）設(shè)所求方程的根為y，則y=-x，則x=-y．
把x=-y代入已知方程x²+x-2=0，
得 （-y）²+（-y）-2=0．
化簡(jiǎn)得：y²-y-2=0．
故答案是：y²-y-2=0．

（2）設(shè)所求方程的根為y，則y=$\frac{1}{x}$，所以x=$\frac{1}{y}$，
把x=$\frac{1}{y}$代入已知方程ax²+bx+c=0（a≠0）得
a（$\frac{1}{y}$）²+b•$\frac{1}{y}$+c=0，
去分母，得 a+by+cy²=0．
若c=0，則ax²+bx=0，于是方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一根為0，不符合題意．
∴c≠0，
故所求的方程為：cy²+by+a=0（c≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的解．解答該題的關(guān)鍵是弄清楚“換根法”的具體解題方法．