Question

3．已知：如圖，在正方形ABCD中，M在CB延長(zhǎng)線上，N在DC延長(zhǎng)線上，∠MAN=45°，AH⊥MN，垂足為H，求證：
（1）MN=DN-BM；
（2）AH=AB．

Answer 1

分析 （1）在DN上截取DE=MB，連接AE，證△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根據(jù)SAS證△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可；
（2）由（1）證得△AMN≌△AEN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠MAN=∠NAE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到AH=AD，由等量代換即可得到結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖，在DN上截取DE=MB，連接AE，
在正方形ABCD中，
∵AD=AB，∠D=∠ABM=90°，
在△ABM與△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABM}\\{BM=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADE，
∴AM=AE，∠MAB=∠EAD，
∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，
∴∠DAE+∠BAN=45°，
∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，
在△AMN和△AEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AE}\\{∠MAN=∠EAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AEN，
∴MN=EN，
∵DN-DE=EN，
∴DN-BM=MN；

（2）由（1）證得△AMN≌△AEN，
∴∠MAN=∠NAE，
∵AH⊥MN，AD⊥CD，
∴AH=AD，
∵AD=AB，
∴AH=AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．