Question

8．如圖，拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$-4$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$與x軸交于A、B，點P為頂點，在x軸下方的拋物線上是否存點M，使△AMP≌△AMB？若存在，求出直線AM的解析式，若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 過點P作x軸的垂線，垂足為C，證出△APB是等邊三角形，作∠PAB的平分線交拋物線于M點，連接PM，BM，由AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP得到△AMP≌△AMB，求出∠PAB的平分線與對稱軸x=4的交點坐標，運用待定系數(shù)法求出直線AM的解析式．

解答 解：拋物線y=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$-4$\sqrt{3}$x+6$\sqrt{3}$與x軸交于A、B，點P為頂點，
∴A（2，0），B（6，0），P（4，-2$\sqrt{3}$），
過點P作x軸的垂線，垂足為C，則PC=2$\sqrt{3}$，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，
所以△APB是等邊三角形，
只要作∠PAB的平分線交拋物線于M點，
連接PM，BM，
在△AMP和△AMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{∠PAM=∠BAM}\\{AB=AP}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△AMB．
因此即存在這樣的點M，使△AMP≌△AMB．
設∠PAB的平分線與拋物線的對稱軸x=4交于一點N，
點N的坐標為（4，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
設直線AM的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{4k+b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線AM的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查了拋物線與x的交點以及數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法求解析式，發(fā)現(xiàn)∠PAB的平分線交拋物線于M點，使得△AMP≌△AMB是解決本題的關鍵．