Question

3．如圖（1），由線段AB、AM、CM、CD組成的圖形像英文字母 M，稱(chēng)為“M形BAMCD”．
（1）如圖（1），M形BAMCD中，若AB∥CD，∠A+∠C=50°，則∠M=50°；
（2）如圖（2），連接M形BAMCD中B、D兩點(diǎn)，若∠B+∠D=150°，∠AMC=α，試探求∠A與∠C 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）如圖（3），在（2）的條件下，且AC的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)線有交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在線段BD的延長(zhǎng)線上從左向右移動(dòng)的過(guò)程中，直接寫(xiě)出∠A與∠C所有可能的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）過(guò)M作MN∥AB，由平行線的性質(zhì)即可求得∠M的值．
（2）延長(zhǎng)BA，DC交于E，應(yīng)用四邊形的內(nèi)角和定理與平角的定義即可解決問(wèn)題．
（3）延長(zhǎng)BA、DC使之相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)MC與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，利用三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系即可求解．

解答 解：（1）過(guò)M作MN∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∴∠1=∠A，∠2=∠C，
∴∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C=50°；
故答案為：50°；
（2）∠A+∠C=30°+α，
延長(zhǎng)BA，DC交于E，

∵∠B+∠D=150°，
∴∠E=30°，
∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；
即∠A+∠C=30°+α；
（3）如下圖所示：

延長(zhǎng)BA、DC使之相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)MC與BA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，
∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°
由三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系得：
∠1=30°+∠2
∠2=∠3+α
∴∠1=30°+∠3+α
∴∠1-∠3=30°+α
即：∠A-∠C=30°+α

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)．解答該題時(shí)，通過(guò)作輔助線準(zhǔn)確作出輔助線l∥AB，利用平行線的性質(zhì)（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）將所求的角∠M與已知角∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，從而求得∠M的度數(shù)．