Question

3．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CD=CB，求證：
（1）AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD）；
（2）∠B+∠D=180°．

Answer 1

分析 （1）作CF⊥AD的延長線于F，再由條件就可以得出△CDF≌△CEB，就可以得出CF=CE，從而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)△CDF≌△CEB得出∠B=∠FDC，進而證明∠B+∠D=180°．

解答 證明：（1）作CF⊥AD的延長線于F，如圖：

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，
∴CF=CE，AF=AE，
在Rt△CDF與Rt△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CDF≌Rt△CEB（HL），
∴FD=BE，
∵AF=AE，
∴AE=$\frac{1}{2}$（AB+AD）；
（2）∵Rt△CDF≌Rt△CEB，
∴∠B=∠FDC，
∵∠ADC+∠FDC=180°，
∴∠B+∠D=180°．

點評 此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明△CDF≌△CEB進而得出∠B=∠FDC．