Question

15．（1）如圖①，D是等邊三角形ABC的AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A，B不重合），連接DC，以DC為邊在BC上方作等邊三角形DCE，連接AE，求證：∠B=∠EAC；
（2）如圖②，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)至等邊三角形ABC邊BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他作法與（1）相同，（1）中結(jié)論∠B=∠EAC還成立嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）如圖③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AB上任意一點(diǎn)（點(diǎn)D與A，B不重合），連結(jié)CD，以CD為底邊作等腰三角形ECD，使頂角∠DEC=∠BAC，連結(jié)AE，試探究∠B與∠EAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS可證明△BCD≌△ACE，繼而得出結(jié)論；
（2）和（1）的思路完全一樣；
（3）首先得出∠ACB=∠ECD，從而判定△ABC∽△EDC，得到$\frac{AC}{CE}$=$\frac{BC}{CD}$，根據(jù)∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，于是得到∠BCD=∠ACE，推出△BCD∽△ACE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ABC、△CDE是等邊三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠EAC；

（2）解：結(jié)論∠B=∠EAC仍成立；
理由如下：∵△ABC、△CDE是等邊三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠EAC；

（3）解：∠B=∠EAC；
理由如下：∵AB=AC，ED=EC，頂角∠BAC=∠DEC，
∴底角∠ACB=∠ECD，
∴△ABC∽△EDC，
∴$\frac{AC}{CE}$=$\frac{BC}{CD}$，
又∵∠BCD=∠ACB-∠ACD，∠ACE=∠DCE-∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD∽△ACE，
∴∠B=∠CAE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論．