Question

1．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=$\sqrt{2}$EC．其中正確結(jié)論的番號(hào)是（　　）

• A． ①②④⑤
• B． ①②③④⑤
• C． ①②④
• D． ①④

Answer 1

分析 過P作PG⊥AB于點(diǎn)G，根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)及題中的已知條件，證明△AGP≌△FPE后即可證明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性質(zhì)，在Rt△DPF中，DP²=DF²+PF²=EC²+EC²=2EC²，求得⑤DP=$\sqrt{2}$EC．

解答 證明：過P作PG⊥AB于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得
PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，F(xiàn)P=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP=EF；
∠PFE=∠GAP
∴④∠PFE=∠BAP，
②延長AP到EF上于一點(diǎn)H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；
③∵點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，∠ADP=45度，
∴當(dāng)∠PAD=45度或67.5度或90度時(shí)，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯(cuò)誤．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP²=DF²+PF²=EC²+EC²=2EC²，
∴⑤DP=$\sqrt{2}$EC．
∴其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②④⑤．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，在解答時(shí)要認(rèn)真審題．