Question

10．如圖，AD∥BC，AB⊥BC，動點E從點A開始沿AD運動，動點F從點B開始沿BC運動，AM=10cm，BN=8cm
（1）若動點E的速度為2cm/s，動點F的速度為1cm/s時，當運動時間為2或6秒時，以E，F(xiàn)，N，M為頂點的四邊形為平行四邊形；
（2）若AB=4cm，當點E、F的運動速度比$\frac{{v}_{E}}{{v}_{F}}$=$\frac{5}{13}$時，在某一時刻，四邊形EMFN為菱形．

Answer 1

分析 （1）當EM=FN時，以E，F(xiàn)，N，M為頂點的四邊形為平行四邊形，分類討論：當點E，F(xiàn)在MN的左側時，EM=10-2t，F(xiàn)N=8-t，則10-2t=8-t；當點F在MN的左側時，點E在MN的右側時，EM=2t-10，F(xiàn)N=8-t，則2t-10=8-t，然后分別解方程即可得到對應的t的值；
（2）作MN的垂直平分線交AD于M，交BC于N，交MN于O點，作MQ⊥BC于Q，如圖，先證明△OME≌△ONF得到EM=FN，則可判斷四邊形MENF為平行四邊形，加上MN⊥EF，則四邊形MENF為菱形，接著在Rt△MNQ中利用勾股定理計算出MN=2$\sqrt{5}$，通過Rt△OEM∽Rt△QMN，利用相似比可計算出EM=5，則NF=5，于是得到AE=AM-EM=5，BQ=BN+NF=13，然后得到點E和點F的速度比．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴EM∥FN，
當EM=FN時，以E，F(xiàn)，N，M為頂點的四邊形為平行四邊形，
當點E，F(xiàn)在MN的左側時，
∵AM=10cm，BN=8cm
∴EM=10-2t，F(xiàn)N=8-t，
∴10-2t=8-t，
解得：t=2，
當點F在MN的左側時，點E在MN的右側時，
∵AM=10cm，BN=8cm
∴EM=2t-10，F(xiàn)N=8-t，
∴2t-10=8-t，
解得：t=6，
綜上所述：當t=2s或6s時，以E，F(xiàn)，N，M為頂點的四邊形為平行四邊形；
（2）作MN的垂直平分線交AD于M，交BC于N，交MN于O點，作MQ⊥BC于Q，如圖，
∵AD∥BC，
∴∠OEM=∠OFN，∠OME=∠ONF，
在△OME和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OEM=∠OFN}\\{∠OME=∠ONF}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OME≌△ONF，
∴EM=FN，
而EM∥FN，
∴四邊形MENF為平行四邊形，
∵MN⊥EF，
∴四邊形MENF為菱形，
在Rt△MNQ中，∵MQ=AB=4，NQ=BQ-BN=AM-BN=10-8=2，
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴OM=$\sqrt{5}$，
∵∠NMQ=∠OEM，
∴Rt△OEM∽Rt△QMN，
∴$\frac{EM}{MN}$=$\frac{OM}{NQ}$，即$\frac{EM}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得EM=5，
∴NF=5，
∴AE=AM-EM=5，BQ=BN+NF=13，
∴$\frac{{v}_{E}}{{v}_{F}}$=$\frac{5}{13}$．
故答案為：2或6；$\frac{5}{13}$．

點評 本題考查了菱形的判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．