Question

15．如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）與雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）交于E、F兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，-$\frac{3}{2}$b），連接CA，CB，CE，CF，若S_△CEF=2（S_△CAE+S_△CBF），求b的值．

Answer 1

分析 先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得B（0，b），A（2b，0），則利用勾股定理得AB=$\sqrt{5}$b，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可設(shè)E（m，-$\frac{1}{2}$m+b），F(xiàn)（n，-$\frac{1}{2}$n+b），接著利用兩點(diǎn)間的距離公式得EF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|m-n|，則m、n為方程-$\frac{1}{2}$x+b=$\frac{1}{x}$的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，由根與系數(shù)的關(guān)系得m+n=2b，mn=2，于是利用完全平方公式可計(jì)算出|m-n|=2$\sqrt{^{2}-2}$，則EF=$\sqrt{5}$•$\sqrt{^{2}-2}$，根據(jù)三角形面積公式，由S_△CEF=2（S_△CAE+S_△CBF）得到EF=2（AE+BF），即EF=$\frac{2}{3}$AB，所以$\sqrt{5}$•$\sqrt{^{2}-2}$=$\frac{2}{3}$•$\sqrt{5}$b，然后解方程可得到b的值．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{1}{2}$x+b=b，則B（0，b）；當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{1}{2}$x+b=0，解得x=2b，則A（2b，0），
∴AB=$\sqrt{^{2}+（2b）^{2}}$=$\sqrt{5}$b，
設(shè)E（m，-$\frac{1}{2}$m+b），F(xiàn)（n，-$\frac{1}{2}$n+b），
∴EF=$\sqrt{（m-n）^{2}+（-\frac{1}{2}m+b+\frac{1}{2}n-b）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$|m-n|，
∵y=-$\frac{1}{2}$x+b（b＞0）與雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0）交于E、F兩點(diǎn)，
∴m、n為方程-$\frac{1}{2}$x+b=$\frac{1}{x}$的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
方程整理為x²-2bx+2=0，
∴m+n=2b，mn=2，
∴|m-n|=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{4^{2}-8}$=2$\sqrt{^{2}-2}$，
∴EF=$\sqrt{5}$•$\sqrt{^{2}-2}$，
∵S_△CEF=2（S_△CAE+S_△CBF），
∴EF=2（AE+BF），
∴EF=$\frac{2}{3}$AB，
∴$\sqrt{5}$•$\sqrt{^{2}-2}$=$\frac{2}{3}$•$\sqrt{5}$b，
∴b=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$或b=-$\frac{3\sqrt{10}}{5}$（舍去），
∴b的值為$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)綜合題：熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；會(huì)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；會(huì)綜合運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系；記住三角形面積公式．