Question

18．二次函數(shù)y=ax²-bx+b（a＞0，b＞0）圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)不大于$-\frac{2}$，且圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB長度的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 易求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可取得a、b的大小關(guān)系，再根據(jù)一元二次方程求根公式即可求得AB長度（用a、b表示），即可解題．

解答 解：∵拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=-$\frac{-b}{2a}$=$\frac{2a}$，
代入得：y=a${（\frac{2a}）}^{2}$-$\frac{^{2}}{2a}$=b≤-$\frac{2}$，
化簡得：$\frac{2a}$≥3，即b≥6a，（此時(shí)△＞0，符合題意）
∵當(dāng)y=ax²-bx+b=0，時(shí)，x₁=$\frac{b+\sqrt{^{2}-4ab}}{2a}$，x₂=$\frac{b-\sqrt{^{2}-4ab}}{2a}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{^{2}-4ab}}{a}$，
∵a、b均大于0，
∴當(dāng)b=6a時(shí)，AB有最小值為2$\sqrt{3}$，
故答案為 2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的求根公式，考查了二次函數(shù)的最小值問題，本題中用a、b表示AB的長度是解題的關(guān)鍵．