Question

6．如圖所示，某數(shù)學活動小組要測量山坡上的電線桿PQ的高度，他們采取的方法是：先在地面上的點A處測得桿頂端點P的仰角是45°，再向前走到B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°，這時只需要測出AB的長度就能通過計算求出電線桿PQ的高度，你同意他們的測量方案嗎？若同意，畫出計算時的圖形，簡要寫出計算的思路，不用求出具體值；若不同意，提出你的測量方案，并簡要寫出計算思路．

Answer 1

分析 延長PQ交直線AB于點E，設測出AB的長度為m米，在直角△APE和直角△BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用PE表示出AE和BE，根據(jù)AB=AE-BE即可列出方程求得PE的值，再在直角△BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長，則PQ的長度即可求解．

解答 解：同意他們的測量方案；
延長PQ交直線AB于點E，
設測出AB的長度為m米．
在直角△APE中，∠A=45°，
則AE=PE；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PE，
∵AB=AE-BE=m，
則PE-$\frac{\sqrt{3}}{3}$PE=m，
解得：PE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$m．
則BE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$m-m=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$m．
在直角△BEQ中，QE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$m）=$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$m．
∴PQ=PE-QE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$m=$\frac{\sqrt{3}+3}{3}$m．

點評 本題考查解直角三角形的應用，注意掌握當兩個直角三角形有公共邊時，先求出這條公共邊的長是解答此類題的一般思路．