Question

19．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，交AC于H，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF=CE，連結(jié)DF，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連結(jié)OG，下列四個(gè)結(jié)論：①BG⊥DF；②OG∥AD；③BH=GH；④若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，則CE=$\sqrt{2}$-1．其中正確的結(jié)論有①②④（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 ①根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到∠DCF=90°=∠BCD，根據(jù)SAS即可證得△BCE≌△DCF，得出∠1=∠F，∠F+∠2=90°，進(jìn)而得出∠BGD=90°=∠BGF；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CBE=∠CDF，于是得到∠DGB=∠BCE=90°，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
③由C不是BF中點(diǎn)，得到OC與DF不平行，由于O為BD中點(diǎn)，于是得到BH≠GH，故③錯(cuò)誤；
④過(guò)E作EH⊥BD于H，于是得到△DHE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到DH=HE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到HE=CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH=BC=1，于是得到CE=HE=DE=$\sqrt{2}$-1，故④正確，

解答 解：①∵正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DCF=90°，
∴∠DCF=90°=∠BCD，
∵在△BCD和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCD=∠DCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠F，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠F+∠2=90°，
∵D、G、F三點(diǎn)共線，
∴∠BGF+∠BGD=180°，
∴∠BGD=90°=∠BGF，
即BG⊥DF；故①正確；
②∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE=∠CDF，
∵∠BEC=∠DEG，
∴∠DGB=∠BCE=90°，
∴BG垂直且平分DF，
∵O是BD的中點(diǎn)，
∴OG∥BF，
∴OG∥AD．
故②選項(xiàng)正確；
③∵C不是BF中點(diǎn)，
∴OC與DF不平行，
而O為BD中點(diǎn)，
∴BH≠GH，故③錯(cuò)誤；
④過(guò)E作EH⊥BD于H，
則△DHE是等腰直角三角形，
∴DH=HE，
∵BE平分∠DBC，
∴HE=CE，
在Rt△BCE與Rt△BHE中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=HE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△BHE，
∴BH=BC=1，
∵BD=$\sqrt{2}$BC=$\sqrt{2}$，
∴CE=HE=DE=$\sqrt{2}$-1，故④正確，
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形全等的判定及性質(zhì)．