Question

7．如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)G是BC邊上任意一點(diǎn)，DE⊥AG，垂足為E，BF⊥AG，垂足為F．
（1）求證：AE=BF；
（2）將△ABF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時(shí)點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F′，若正方形邊長為3，求線段EF′的長．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得AD=AB，∠DAG+∠BAF=90°，再由DE⊥AG，BF⊥AG，證得∠ADE=∠BAF，由AAS證得△ADE≌△BAF，即可得出結(jié)論；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠AF′D=∠AFB=90°，∠DAF′=∠BAF，證明四邊形AEDF′是矩形，即可得出EF′=AD=3．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，即∠DAG+∠BAF=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠DEA=∠BFA=90°，
∴∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
在△ADE和△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEA=∠BFA}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE=BF；
（2）解：如圖所示：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠AF′D=∠AFB=90°，∠DAF′=∠BAF，
∴∠F′AE=∠DAB=90°，
又∵∠DEA=90°
∴四邊形AEDF′是矩形，
∴EF′=AD=3．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．