Question

2．關(guān)于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有兩個不相等的實數(shù)根；
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k，使方程的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有兩個不相等的實數(shù)根，由此可以得到判別式是正數(shù)，這樣就可以得到關(guān)于k的不等式，解不等式即可求解；
（2）不存在符合條件的實數(shù)k．設(shè)方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0的兩根分別為x₁、x₂，由根與系數(shù)關(guān)系有：x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$，又$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，然后把前面的等式代入其中即可求k，然后利用（1）即可判定結(jié)果

解答 解：（1）由△=[（k+2）]²-4×k•$\frac{k}{4}$＞0，
∴k＞-1
又∵k≠0，
∴k的取值范圍是k＞-1，且k≠0；

（2）不存在符合條件的實數(shù)k
理由：設(shè)方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0的兩根分別為x₁、x₂，
由根與系數(shù)關(guān)系有：x₁+x₂=-$\frac{k+2}{k}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$，
又∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=0，
∴$\frac{k+2}{4k}$=0，
解得k=-2，
由（1）知，k=-2時，△＜0，原方程無實解，
∴不存在符合條件的k的值．

點評 此題主要考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解題時將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．