Question

12．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c，根據(jù)圖象，回答下列問題：
（1）判斷下列各代數(shù)式的符號：a，b，c，b²-4ac，a-b+c，4a²-2b+c；
（2）寫出不等式ax²+bx+c＜0的解集；
（3）若方程ax²+bx+c=k，有兩個不相等的實根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頂點坐標(biāo)和與x軸交點（1，0）可求出拋物線的解析式，從而得出a、b、c的值，并能計算出b²-4ac，a-b+c，4a²-2b+c的值；也可以利用圖象確定a、b、c的符號，根據(jù)拋物線的個數(shù)確定b²-4ac的符號，根據(jù)x=-1時所對應(yīng)的y值確定a-b+c的符號；
（2）先求出拋物線與x軸另一個交點的坐標(biāo)，再根據(jù)圖象寫出不等式ax²+bx+c＜0的解集，即y＜0時，所對應(yīng)的x的取值；
（3）拋物線與y=k有兩個不同的交點，當(dāng)k=6時，有一個交點，當(dāng)k＞6時，無交點，當(dāng)k＜6時，有兩個交點，所以k＜6．

解答 解：（1）由圖象可知其頂點坐標(biāo)為（-1，6），
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）²+6，
又∵圖象過（1，0），
∴代入得：0=a（1+1）²+6，得a=-$\frac{3}{2}$，
∴y=-$\frac{3}{2}$（x+1）²+6=-$\frac{3}{2}$x²-3x+$\frac{9}{2}$，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△=b²-4ac＞0，
由圖可知：當(dāng)x=-1時，y=6，即a-b+c=6＞0，
4a²-2b+c=4×（-$\frac{3}{2}$）²-2×（-3）+$\frac{9}{2}$=9+6+$\frac{9}{2}$＞0；
（2）由對稱性得：拋物線與x軸另一個交點為（-3，0），
∴不等式ax²+bx+c＜0的解集為x＜-3或x＞1；
（3）方程ax²+bx+c=k，有兩個不相等的實根，相當(dāng)于拋物線與y=k有兩個不同的交點，
∴k＜6．

點評 本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程及不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，解決問題；同時還考查了拋物線y=ax²+bx+c中，a，b，c，b²-4ac，a-b+c等符號的判別，可以通過計算解析式代入求得，也可以根據(jù)圖象直接判別；這就需要熟練掌握以下幾點：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。�當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；
②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置． 當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．
③．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數(shù)．△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．