Question

1．（1）請(qǐng)?jiān)趫D①中作出兩條線，使它們將圓面四等分；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

分析 （1）畫出互相垂直的兩直徑即可；
（2）當(dāng)BQ=CD=b時(shí)，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，連接BP并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證△ABP≌△DEP求出BP=EP，連接CP，求出S_△BPC=S_△EPC，作PF⊥CD，PG⊥BC，由BC=AB+CD=DE+CD=CE，求出S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP，即可得出S_{四邊形ABQP}=S_{四邊形CDPQ}即可．

解答 解：（1）如圖1所示，


（2）存在，當(dāng)BQ=CD=b時(shí)，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，
理由是：如圖2，連接BP并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDP，
在△ABP和△DEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EDP}\\{AP=DP}\\{∠APB=∠DPE}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP=EP，
連接CP，
∵△BPC的邊BP和△EPC的邊EP上的高相等，
又∵BP=EP，
∴S_△BPC=S_△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，則BC=AB+CD=DE+CD=CE，
由三角形面積公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，則S_△CQP=S_△DEP=S_△ABP
∴S_△BPC-S_△CQP+S_△ABP=S_△CPE-S_△DEP+S_△CQP
即：S_{四邊形ABQP}=S_{四邊形CDPQ}，
∵BC=AB+CD=a+b，
∴BQ=b，
∴當(dāng)BQ=b時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了應(yīng)用作圖與設(shè)計(jì)、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，注意：等底等高的三角形的面積相等．