Question

12．已知如圖所示，過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作對角線BD的平行線，在這條直線上取點(diǎn)E，使BE=BD，且BE與AD交于點(diǎn)F，求證：DE=DF．

Answer 1

分析 作AG⊥BD于G，作EH⊥BD于H．先證明四邊形AEHG為矩形，根據(jù)矩形和正方形的性質(zhì)得到AG=EH=$\frac{1}{2}$DB，得出EH=$\frac{1}{2}$DB，求出∠EBH=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得到∠DFE=∠DEB，即可得出結(jié)論．

解答 證明：作AG⊥BD于G，作EH⊥BD于H．如圖所示：
∵AE∥DB，
∴四邊形AEHG為矩形，
∴AG=EH=$\frac{1}{2}$DB，
又∵BE=BD，
∴EH=$\frac{1}{2}$BE，
∴∠EBH=30°，
又∵BE=BD，
∴∠DEB=∠EDB=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
又∵∠DFE=∠FDB+∠FBH=45°+30°=75°，
∴∠DFE=∠DEB，
∴DE=DF．

點(diǎn)評 考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．