Question

17．如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，
（1）求∠EAF的度數(shù)；
（2）在圖①中，連結BD分別交AE、AF于點M、N，將△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，連結
         MH，得到圖②．求證：MN²=MB²+ND²；
（3）在圖②中，若AG=12，BM=3$\sqrt{2}$，直接寫出MN的值．

Answer 1

分析 （1）如圖①，通過證明Rt△ABE≌Rt△AGE得到∠BAE=∠GAE，證明Rt△ADF≌Rt△AGF得到∠GAF=∠DAF，從而得到∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）如圖②，先利用正方形的性質(zhì)得∠ADB=∠ABD=45°，再利用旋轉的性質(zhì)得∠ABH=∠ADN=45°，∠HAN=90°，AH=AN，BH=DN，則∠HAM=45°，于是可根據(jù)“SAS”證明△AHM≌△ANM，所以MN=MH，接著證明∠HBM=90°，然后根據(jù)勾股定理得到結論；
（3）利用正方形的性質(zhì)得BD=12$\sqrt{2}$，設MN=x，則DN=9$\sqrt{2}$-x，然后利用MN²=MB²+ND²得到x²=（3$\sqrt{2}$）2+（9$\sqrt{2}$-x）²，然后解方程求出x即可．

解答 （1）解：如圖①，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∵AG⊥EF，
∴∠AGE=90°，
∵高AG與正方形的邊長相等，
∴AG=AB=AD，
在Rt△ABE和△AGE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AB=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理可得Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∵△ADN繞點A順時針旋轉90°至△ABH位置，如圖②，
∴∠ABH=∠ADN=45°，∠HAN=90°，AH=AN，BH=DN，
∵∠EAF=45°，
∴∠HAM=45°，
在△AMH和△AMN中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{∠HAM=∠NAM}\\{AH=AN}\end{array}\right.$
∴△AHM≌△ANM，
∴MN=MH，
∵∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，
∴MH²=MB²+HB²，
∴MN²=MB²+ND²；
（3）解：∵AB=AG=12，
∴BD=12$\sqrt{2}$，
設MN=x，則DN=12$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$-x=9$\sqrt{2}$-x，
由（2）得，MN²=MB²+ND²，
∴x²=（3$\sqrt{2}$）2+（9$\sqrt{2}$-x）²，解得x=5$\sqrt{2}$，
即MN的長為5$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握旋轉的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；會利用全等三角形的知識解決線段或角相等的問題；會運用勾股定理計算線段的長；學會利用前面小題的結論解決后面小題．