Question

19．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為$\sqrt{10}$，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，以AB為斜邊在正方形內(nèi)部作Rt△ABE，∠ABE=90°，連接OE，點(diǎn)P為邊AB上的一點(diǎn)，將△AEP沿著EP翻折到△GEP，若PG⊥BE于點(diǎn)F，OE=$\sqrt{2}$，則S_△EPB=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{20}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 在BE上截取BM=AE，連接OM，OE，AC與BE交于點(diǎn)K，由△OAE≌△OBM得EO=OM，∠AOE=∠BOM，所以∠EOM=∠AOB=90°，得EM=$\sqrt{2}$OE，設(shè)AE=BM=a，在RT△ABE中，由AB²=AE²+BE²求出a，得到AE=1，BE=3，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到PA=PG，∠APE=∠GPE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEP=∠GPE=∠APE，進(jìn)而得到BP的長(zhǎng)，再過(guò)E作EH⊥AB于H，求得EH的長(zhǎng)，即可得到△EPB的面積．

解答 解：如圖，在BE上截取BM=AE，連接OM，OE，AC與BE交于點(diǎn)K，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO=OB，
∴∠AEB=∠AOB=90°，
∴∠EAK+∠AKE=90°，∠BKO+∠OBM=90°，
∵∠BKO=∠AKE，
∴∠EAO=∠OBM，
在△OAE和△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAE=∠OBM}\\{AE=MB}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBM（SAS），
∴OE=OM，∠AOE=∠BOM，
∴∠EOM=∠AOB=90°，
∴等腰直角三角形EOM中，EM=$\sqrt{2}$OE=2，
設(shè)AE=BM=a，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
∴10=a²+（a+2）²，
∵a＞0，
∴a=1，
∴AE=1，BE=3，
∵△PEG是由△PEA翻折得到，
∴PA=PG，∠APE=∠GPE，
∵PG⊥EB，AE⊥EB，
∴AE∥PG，
∴∠AEP=∠GPE=∠APE，
∴AP=AE=1，PB=$\sqrt{10}$-1，
如圖，過(guò)E作EH⊥AB于H，則$\frac{1}{2}$AE×BE=$\frac{1}{2}$AB×EH，
∴EH=$\frac{1×3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3}{10}\sqrt{10}$，
∴S_△EPB=$\frac{1}{2}$PB•HE=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{10}$-1）×$\frac{3}{10}\sqrt{10}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{20}\sqrt{10}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{20}\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、翻折變換等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形以及等腰直角三角形，利用直角三角形，運(yùn)用勾股定理列方程求解．