Question

14．如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)F，過點(diǎn)A作PO的垂線AB垂足為D，交⊙O于點(diǎn)B，延長(zhǎng)BO與⊙O交于點(diǎn)C，連接AC，BF．
（1）求證：PB與⊙O相切；
（2）若AC=12，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）連接OA，由OP垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點(diǎn)，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PA為圓的切線，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等及垂直的定義得到OB垂直于BP，即PB為圓O的切線；
（2）連接BE，構(gòu)建直角△BEF．在該直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理可設(shè)BE=x，BF=2x，進(jìn)而可得EF=$\sqrt{5}$x；然后由面積法求得BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，所以根據(jù)垂徑定理求得AB的長(zhǎng)度，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理易求BC的長(zhǎng)；最后由余弦三角函數(shù)的定義求解．

解答 （1）證明：連接OA，
∵PA與圓O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D為AB中點(diǎn)，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{OP=OP}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，
則直線PB為圓O的切線；

（2）解：連接BE，則∠FBE=90°．
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
∴可設(shè)BE=x，BF=2x，
則由勾股定理，得
EF=$\sqrt{B{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∵$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$EF•BD，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2BD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x，
∴Rt△ABC中，BC=$\sqrt{5}$x，
AC²+AB²=BC²，
∴12²+（ $\frac{4\sqrt{5}}{5}$x）²=（ $\sqrt{5}$x）²，
解得：x=4 $\sqrt{5}$，
∴BC=4 $\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=20，
∴cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似及全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．