Question

4．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，P是BC邊上一動點（不含B，C兩點），將△ABP沿直線AP翻折，點B落在點E處；在CD上有一點M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點C落在直線PE上的點F處，連接MA，則AM長度的最小值是$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 先設(shè)PB=x，則CP=3-x，判定△CMP∽△BPA，得出$\frac{PB}{CM}$=$\frac{AB}{PC}$，進(jìn)而得到CM=$\frac{PB×PC}{AB}$=$\frac{1}{3}$x（3-x），作MG⊥AB于G，根據(jù)AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+A{G}^{2}}$，可知AG最小時，AM最小，最后求得AG的最小值，即可得出AM長度的最小值．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=3，∠C=∠B=90°，
設(shè)PB=x，則CP=3-x，
∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，
∵∠CPN+∠NPB=180°，
∴2∠NPM+2∠APE=180°，
∴∠MPN+∠APE=90°，即∠APM=90°，
∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠CPM=∠PAB，
∴△CMP∽△BPA，
∴$\frac{PB}{CM}$=$\frac{AB}{PC}$，
∴CM=$\frac{PB×PC}{AB}$=$\frac{1}{3}$x（3-x），
如圖，作MG⊥AB于G，
∵AM=$\sqrt{M{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+A{G}^{2}}$，
∴AG最小時，AM最小，
∵AG=AB-BG=AB-CM=3-$\frac{1}{3}$x（3-x）=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴x=$\frac{3}{2}$時，AG最小值=$\frac{9}{4}$，
∴AM的最小值=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{4}）^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
故答案為：$\frac{15}{4}$．

點評 本題屬于折疊問題，主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行計算．