Question

12．如圖，在平面直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將△AOB繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，設(shè)其橫坐標為t．
①設(shè)拋物線的對稱軸l與x軸交于點E，連結(jié)PE交CD于點F，當△CEF與△COD相似時，求點P的坐標；
②當∠BAP=45°時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由條件可求得A、B、C三點的坐標分別為（1，0）、（0，3）、C（-3，0），代入解析式可求得拋物線的解析式；
（2）①若△CEF與△COD相似，則有∠CFE=90°或∠CEF=90°，當∠CFE=90°時，連接PE并延長交y軸于點H，根據(jù)題意可證明△ODC≌△OEH，則OH=OC，可求得Q的坐標，結(jié)合E點坐標，可求出直線PH的解析式，聯(lián)立直線和拋物線的解析式可求得P點坐標；當∠CEF=90°時，可知P點為拋物線的頂點；②連接AD并延長，交拋物線于點P，連接PB，可證得PB∥x軸，則可知∠APB=45°，滿足條件．

解答 解：
（1）∵tan∠BAO=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{BO}{1}$=3，解得BO=3，
又由旋轉(zhuǎn)可得OC=OB=3，
∴A、B、C三點的坐標分別為（1，0）、（0，3）、C（-3，0），
代入二次函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=-x²-2x+3；
（2）①∵∠DOC=90°，
∴當△CEF與△COD相似，有∠CFE=90°或∠CEF=90°，
當∠CFE=90°時，連接PE并延長交y軸于點H，如圖1，

由題意可知l方程為x=-1，∴OD=OE，
∵∠DCO+∠CDO=∠CDO+∠EHO=90°，
∴∠DCO=∠EHO，
在△ODC和△OEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠EHO}\\{∠DOC=∠EOH}\\{DO=EO}\end{array}\right.$
∴△ODC≌△OEH（AAS），
∴OH=OC=3，
∴H坐標為（0，-3），且E（-1，0），
設(shè)直線PH解析式為y=kx-3，把E點坐標代入可得-k-3=0，解得k=-3，
∴直線PH解析式為y=-3x-3，
聯(lián)立拋物線線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+3}\\{y=-3x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∵P點在第二象限，
∴P點坐標為（-2，3）；
當∠CEF=90°時，則PE∥y軸，故P點坐標為拋物線的頂點，可求得P點坐標為（-1，4）；
綜上可知當△CEF與△COD相似時點P的坐標為（-2，3）或（-1，4）；
②如圖2，連接AD并延長，交拋物線于點P，連接PB，

∵A（1，0），D（0，1），
∴直線AD解析式為y=-x+1，
聯(lián)立直線AD和拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴P（-2，3），且B（0，3），
∴PB∥x軸，
∴∠APB=∠DAO=45°，
∴當∠BAP=45°時，P點坐標為（-2，3）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點及方程思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)示的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定點的坐標，在（2）①中利用相似求得直線PE于y軸的交點坐標是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用，在（2）②中確定出點P的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．