Question

8．已知在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（7，3）．
（1）點(diǎn)P在x軸上，且PA=PB，求P的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)Q在x軸上，且QA+QB最短，求QA+QB的最小值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AB，作AB的垂直平分線交x軸于P，則PA=PB，根據(jù)已知條件得到直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{7}$x+4，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3.5，3.5），得到AB的垂直平分線的解析式為y=7x-21，于是得到結(jié)論；
（2）作A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于Q，則A′B=QA+QB的最小值，過B作BH⊥AA′于H，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，連接AB，作AB的垂直平分線交x軸于P，則PA=PB，
∵A（0，4），B（7，3），
∴直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{7}$x+4，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（3.5，3.5），
設(shè)AB的垂直平分線的解析式為y=7x+b，
把（3.5，3.5）代入y=7x+b得，b=21，
∴AB的垂直平分線的解析式為y=7x-21，
當(dāng)y=0時，x=3，
∴P（3，0）；

（2）作A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交x軸于Q，
則A′B=QA+QB的最小值，
過B作BH⊥AA′于H，
∴A′H=7，BH=7，
∴A′B=7$\sqrt{2}$，
∴QA+QB的最小值是7$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱-最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是找出P，Q點(diǎn)的位置，題目比較好，難度適中．