Question

10．將一個直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A（\sqrt{3}，0）$，點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)O（0，0）．P是邊AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），沿著OP折疊該紙片，得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A'．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)A'在第一象限，且滿足A'B⊥OB時，求點(diǎn)A'的坐標(biāo)；
（2）如圖②，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時，求A'B的長；
（3）當(dāng)∠BPA'=30^°時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A和B的坐標(biāo)得出OA=$\sqrt{3}$，OB=1，由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出A'B=$\sqrt{2}$，即可得出點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1）；
（2）由勾股定理求出AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，證出OB=OP=BP，得出△BOP是等邊三角形，得出∠BOP=∠BPO=60°，求出∠OPA=120°，由折疊的性質(zhì)得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，證出OB∥PA'，得出四邊形OPA'B是平行四邊形，即可得出A'B=OP=1；
（3）分兩種情況：①點(diǎn)A'在y軸上，由SSS證明△OPA'≌△OPA，得出∠A'OP=∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，得出點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②由折疊的性質(zhì)得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，作出四邊形OAPA'是菱形，得出PA=OA=$\sqrt{3}$，作PM⊥OA于M，由直角三角形的性質(zhì)求出PM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，把y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)$A（\sqrt{3}，0）$，點(diǎn)B（0，1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
由折疊的性質(zhì)得：OA'=OA=$\sqrt{3}$，
∵A'B⊥OB，
∴∠A'BO=90°，
在Rt△A'OB中，A'B=$\sqrt{OA{'}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1）；

（2）在Rt△ABO中，OA=$\sqrt{3}$，OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2，
∵P是AB的中點(diǎn)，
∴AP=BP=1，OP=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴OB=OP=BP
∴△BOP是等邊三角形，
∴∠BOP=∠BPO=60°，
∴∠OPA=180°-∠BPO=120°，
由折疊的性質(zhì)得：∠OPA'=∠OPA=120°，PA'=PA=1，
∴∠BOP+∠OPA'=180°，
∴OB∥PA'，
又∵OB=PA'=1，
∴四邊形OPA'B是平行四邊形，
∴A'B=OP=1；

（3）設(shè)P（x，y），分兩種情況：
①如圖③所示：點(diǎn)A'在y軸上，
在△OPA'和△OPA中，$\left\{\begin{array}{l}{OA'=OA}&{\;}\\{PA'=PA}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OPA'≌△OPA（SSS），
∴∠A'OP=∠AOP=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把點(diǎn)$A（\sqrt{3}，0）$，點(diǎn)B（0，1）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
∵P（x，y），
∴x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
解得：x=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
∴P（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）；
②如圖④所示：
由折疊的性質(zhì)得：∠A'=∠A=30°，OA'=OA，
∵∠BPA'=30°，
∴∠A'=∠A=∠BPA'，
∴OA'∥AP，PA'∥OA，
∴四邊形OAPA'是菱形，
∴PA=OA=$\sqrt{3}$，作PM⊥OA于M，如圖④所示：
∵∠A=30°，
∴PM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
把y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，
解得：x=$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$，
∴P（$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
綜上所述：當(dāng)∠BPA'=30^°時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$）或（$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題是幾何變換綜合題目，考查了折疊的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線的解析式、菱形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大．