Question

18．如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設出發(fā)的時間為t秒．
（1）問t為何值時，PA=PB？
（2）問t為何值時，△BCP為等腰三角形？
（3）另有一點Q，從點C開始，按C→B→A→C的路徑運動，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點同時出發(fā)，當P、Q中有一點到達終點時，另一點也停止運動．當t為何值時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：點P在AC上和點P在AB上，分別根據(jù)移動的路程，求得時間t的值即可；
（2）分兩種情況：①若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，此時用的時間為6s；②若P在AB邊上時，有三種可能：i若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為4+8=12cm，用的時間為12時； ii）若CP=BC=6cm，過C作CD⊥AB于點D，根據(jù)面積法求得高CD=4.8cm，求出BP=2PD=7.2cm，得出P運動的路程為18-7.2=10.8cm，即可得出結果；ⅲ）若BP=CP，則∠PCB=∠B，證出PA=PC得出PA=PB=5cm，得出P的路程為13cm，即可得出結果；
（3）分兩種情況：①當P、Q沒相遇前：P點走過的路程為t，Q走過的路程為2t，根據(jù)題意得出方程，解方程即可；②當P、Q沒相遇后：當P點在AB上，Q在AC上，則AP=t-8，AQ=2t-16，根據(jù)題意得出方程，解方程即可；即可得出結果．

解答 解：（1）如圖2，作AB的垂直平分線DE，交AB于E，交AC于D，連接DB，則DA=DB，EA=EB，
∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8cm，
①當點P與點D重合時，PA=PB，
此時，CP=1t=t，AP=8-t=BP，
∴在Rt△BCP中，t²+6²=（8-t）²，
解得t=$\frac{7}{4}$；
②當點P與點E重合時，PA=PB，
此時，PA=PB=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴CA+AP=13，即1t=13，
解得t=13，
故當t=$\frac{7}{4}$或13s時，△BCP為等腰三角形；

（2）如圖3，若P在邊AC上時，BC=CP=6cm，
此時用的時間為6s，△BCP為等腰三角形；
若P在AB邊上時，有三種情況：
①如圖4，若使BP=CB=6cm，此時AP=4cm，P運動的路程為12cm，
所以用的時間為12s，故t=12s時△BCP為等腰三角形；
②如圖5，若CP=BC=6cm，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為4.8cm，
根據(jù)勾股定理求得BP=7.2cm，
所以P運動的路程為18-7.2=10.8cm，
∴t的時間為10.8s，△BCP為等腰三角形；
③如圖6，若BP=CP時，則∠PCB=∠PBC，
∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，
∴∠ACP=∠CAP，
∴PA=PC
∴PA=PB=5cm
∴P的路程為13cm，所以時間為13s時，△BCP為等腰三角形．
∴當t=6s或13s或12s或 10.8s 時，△BCP為等腰三角形；

（3）分兩種情況：①當P、Q沒相遇前：如圖7
P點走過的路程為tcm，Q走過的路程為2tcm，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t+2t=12，
∴t=4s；                                          
②當P、Q相遇后：如圖8
當P點在AB上，Q在AC上，則AP=t-8，AQ=2t-16，
∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
∴t-8+2t-16=12，
∴t=12s，
故當t為4秒或12秒時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、三角形面積的計算；本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的判定與性質，進行分類討論是解決問題的關鍵．