Question

6．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線(xiàn)ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是$\widehat{ABC}$的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線(xiàn)的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．

下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=AB+BD的部分證明過(guò)程．
證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．
∵M(jìn)是$\widehat{ABC}$的中點(diǎn)，
∴MA=MC
任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；
（2）填空：如圖（3），已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=2，D為$\widehat{AC}$上 一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，則△BDC的周長(zhǎng)是2+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）首先證明△MBA≌△MGC（SAS），進(jìn)而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出BD=GD，即可得出答案；
（2）方法一、首先證明△ABF≌ACD（SAS），進(jìn)而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，進(jìn)而求出DE的長(zhǎng)即可得出答案．
方法二、先求出BE，再用（1）的結(jié)論得出BE=CD+DE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．
∵M(jìn)是$\widehat{ABC}$的中點(diǎn)，
∴MA=MC．
在△MBA和△MGC中$\left\{\begin{array}{l}{BA=GC}\\{∠A=∠C}\\{MA=MC}\end{array}\right.$，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵M(jìn)D⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；

（2）解：方法一、如圖3，截取BF=CD，連接AF，AD，CD，
由題意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠ACD}\\{BF=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，則CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=$\frac{AB}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
則△BDC的周長(zhǎng)是2+2$\sqrt{2}$．
故答案為：2+2$\sqrt{2}$．
方法二、∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠ACB，
∴由（1）的結(jié)論得，BE=DE+CD，
在Rt△ABD中，∠ABD=45°，AB=2，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∴DE+CD=$\sqrt{2}$，
∴則△BDC的周長(zhǎng)是BC+BD+CD=BC+BE+DE+CD=2+2$\sqrt{2}$．
故答案為：2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形以及等邊三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)利用全等三角形的判定與性質(zhì)解題是解題關(guān)鍵．