Question

5．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)C在劣弧AB上（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，射線AO與射線EB交于點(diǎn)F，與⊙O交于點(diǎn)G，設(shè)∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過畫圖和測(cè)量得到以下近似數(shù)據(jù)：

ɑ	30°	40°	50°	60°
β	120°	130°	140°	150°
γ	150°	140°	130°	120°

猜想：β關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式，γ關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理即可得出β=α+90°，然后根據(jù)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性質(zhì)即可得出∠CED=α，從而可知O、A、E、B四點(diǎn)共圓，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=-α+180°；
（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，所以$\frac{AE}{AC}=4$，根據(jù)勾股定理即可求出AE、AC的長(zhǎng)度，從而可求出AB的長(zhǎng)度，再由勾股定理即可求出⊙O的半徑r；

解答 解：（1）猜想：β=α+90°，γ=-α+180°
連接OB，
∴由圓周角定理可知：2∠BCA=360°-∠BOA，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=α，
∴∠BOA=180°-2α，
∴2β=360°-（180°-2α），
∴β=α+90°，
∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴OE是線段BC的垂直平分線，
∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°
∵∠BCA=∠EDC+∠CED，
∴β=90°+∠CED，
∴∠CED=α，
∴∠CED=∠OBA=α，
∴O、A、E、B四點(diǎn)共圓，
∴∠EBO+∠EAG=180°，
∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，
∴γ+α=180°；

（2）當(dāng)γ=135°時(shí)，此時(shí)圖形如圖所示，
∴α=45°，β=135°，
∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，
由（1）可知：O、A、E、B四點(diǎn)共圓，
∴∠BEC=90°，
∵△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，
∴$\frac{AE}{AC}=4$，
∴$\frac{CE}{AC}=3$，
設(shè)CE=3x，AC=x，
由（1）可知：BC=2CD=6，
∵∠BCE=45°，
∴CE=BE=3x，
∴由勾股定理可知：（3x）²+（3x）²=6²，
x=$\sqrt{2}$，
∴BE=CE=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，
∴AE=AC+CE=4$\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，
由勾股定理可知：AB²=（3$\sqrt{2}$）²+（4$\sqrt{2}$）²，
∴AB=5$\sqrt{2}$，
∵∠BAO=45°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，設(shè)半徑為r，
由勾股定理可知：AB²=2r²，
∴r=5，
∴⊙O半徑的長(zhǎng)為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．