Question

拋物線y=x²+bx+c和x軸交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，且△ABC的面積為1，求b²-4c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合

分析：設(shè)拋物線y=x²+bx+c和x軸交于點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系求得AB=

b2-4c

．由拋物線的解析式求得頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-

b

2

，

4c-b2

4

）．然后根據(jù)三角形的面積公式得到：

1

2

×

b2-4c

×|

4c-b2

4

|=1，整理后為：（b²-4c）³=4³．

解答：解：設(shè)拋物線y=x²+bx+c和x軸交于點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂．
則x₁+x₂=-b，x₁•x₂=c，
∴AB=|x₂-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4c

．
又∵拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為C，
∴C（-

b

2

，

4c-b2

4

）．
∵△ABC的面積為1，
∴

1

2

×

b2-4c

×|

4c-b2

4

|=1，
整理，得
（b²-4c）³=4³，
解得，b²-4c=4．
答：b²-4c的值是4．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．此題的難點(diǎn)是根據(jù)拋物線的解析式推知AB=

b2-4c

．另外，在解

1

2

×

b2-4c

×|

4c-b2

4

|=1時，注意把（b²-4c）看成一個整體來解答．