Question

10．如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割成四個(gè)小矩形，EF與GH交于點(diǎn)P，連接AF、AH．
（1）若BF=DH，求證：AF=AH．
（2）若∠FAH=45°，求△FCH的周長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．
（3）若Rt△GBF的周長(zhǎng)為a，求矩形EPHD的面積（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)锽F=DH⇒BF=AE，由AB=AD，∠ABC=∠ADH⇒△ABF≌△ADH（SAS）；
（2）將△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，可得△AFH≌△AFM然后可求得結(jié)論；
（3）設(shè)BF=x，GB=y，根據(jù)線段之間的關(guān)系利用勾股定理求出xy的值；

解答 （1）證明：連接AH、AF．

∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°．
∵ADHG與ABFE都是矩形，
∴DH=AG，AE=BF，
又∵BF=DH，
∴AE=BF．
在Rt△ADH與Rt△ABF中，
∵AD=AB，∠D=∠B=90°，DH=BF，
∴Rt△ADH≌Rt△ABF，
∴AF=AH．

（2）證明：將△ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABM的位置．

在△AMF與△AHF中，
∵AM=AH，AF=AF，
∠MAF=∠MAH-∠FAH=90°-45°=45°=∠FAH，
∴△AMF≌△AHF．
∴MF=HF．
∵M(jìn)F=MB+BF=HD+BF，
∴△FCH的周長(zhǎng)=CF+FH+CH=CF+BF+CH+DH=2a．

（3）解：設(shè)BF=x，GB=y，則FC=a-x，AG=a-y，（0＜x＜1，0＜y＜1）
在Rt△GBF中，GF²=BF²+BG²=x²+y²
∵Rt△GBF的周長(zhǎng)為a，
∴BF+BG+GF=x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=a，
即 $\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=a-（x+y）
即x²+y²=a²-2a（x+y）+（x+y）²
整理得2xy-2ax-2ay+a²=0
∴xy-ax-ay=-$\frac{1}{2}$a²，
∴矩形EPHD的面積S=PH•EP=FC•AG=（a-x）（a-y）=xy-ax-ay+a²=-$\frac{1}{2}$a²+a²=$\frac{1}{2}$a²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．