Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B；
（1）求證：CD⊥AB；
（2）在（1）中畫(huà)△ABC的角平分線AE，交CD于點(diǎn)F，試判斷∠AEC和∠CFE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得：∠A+∠B=90°，則∠A+∠ACD=90°，由三角形內(nèi)角和及垂直定義可得結(jié)論；
（2）畫(huà)圖，根據(jù)等角的余角相等可得：∠AEC=∠CFE．

解答 證明：（1）∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）如圖所示，
∠AEC=∠CFE，理由是：
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠ADC=90°，
∴∠BAE+∠AFD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠AEC=∠CFE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)、垂直的定義及余角的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握同角或等角的余角相等是關(guān)鍵．