Question

6．解方程組：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{3}{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=17}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 將方程$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{3}{2}$兩邊同時(shí)平方可得$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{17}{4}$，由x²+y²=17可求得xy=4，運(yùn)用完全平方公式可得x+y，x-y的值，由此可求出原方程組的解．

解答 解：將方程$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{3}{2}$兩邊同時(shí)平方可得，
$\frac{x}{y}$-2+$\frac{y}{x}$=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{17}{4}$．
∵x²+y²=17，
∴xy=4，
∴（x+y）²=x²+y²+2xy=25，
（x-y）²=x²+y²-2xy=9，
∴x+y=±5，x-y=±3．
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$．
∵$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$=$\frac{3}{2}$＞0，
∴原方程組的解為$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是解方程組、完全平方公式等知識(shí)，將無理方程兩邊同時(shí)平方轉(zhuǎn)化為整式方程，是解決本題的關(guān)鍵，本題是易錯(cuò)題，容易忽視隱含條件$\sqrt{\frac{x}{y}}$-$\sqrt{\frac{y}{x}}$＞0．