Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，內(nèi)切圓⊙O與AB相切于點(diǎn)E，BO的延長線交AC于點(diǎn)D，求證：BE•BD=BO•BC．

Answer 1

分析 連結(jié)OE，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥AB，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得OB平分∠ABC，則∠OEB=90°，∠OBE=∠OBC，由于∠OBE=∠DBC，∠OEB=∠C，則可判斷△OBE∽△DBC，然后利用相似的性質(zhì)得BE：BC=BO：BD，然后化為等積式即可得到結(jié)論．

解答 證明：連結(jié)OE，如圖，
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，
∴OE⊥AB，OB平分∠ABC，
∴∠OEB=90°，∠OBE=∠OBC，
∴∠OBE=∠DBC，∠OEB=∠C，
∴△OBE∽△DBC，
∴BE：BC=BO：BD，
∴BE•BD=BO•BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓；三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．