Question

17．如圖，正方形ABCD的邊長是5，圓D的半徑是3，在圓D上任取一點(diǎn)P，連接AP，將AP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AP′，連接BP′．
發(fā)現(xiàn)：不論點(diǎn)P在圓D上的什么位置，BP′的大小不變，BP′的長是3．
思考：（1）△APD的最大面積是7.5；點(diǎn)P與P′之間的最小距離是2$\sqrt{2}$；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B之間的距離最大時(shí)，∠CBP′的度數(shù)是45°．
探究：當(dāng)AP與圓D相切時(shí)，求△CDP′的面積．

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)：連接DP，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP'=AP，∠PAP'=90°，由正方形的性質(zhì)得出BC=AB=AD=5，∠BAD=90°，證出∠BAP'=∠DAP，由SAS證明△ABP'≌△ADP，得出BP'=DP=3即可；
思考：當(dāng)PD⊥AD時(shí)，△APD的面積最大=$\frac{1}{2}$×5×3=7.5；當(dāng)P在AD上時(shí)，PP'最小，此時(shí)P'在AB上，AP'=AP=2，由勾股定理得出PP'=2$\sqrt{2}$；當(dāng)點(diǎn)P在射線BD上時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B之間的距離最大，此時(shí)∠ABP'=∠ADP=135°，求出∠CBP'°=45°即可；
探究：分兩種情況：①如圖所示：連接DP、DP'、CP'，過點(diǎn)P'作AB的垂線，交AB于F，交CD于E，則EF⊥CD，EF=BC=5，由切線的性質(zhì)得出∠APD=90°，由發(fā)現(xiàn)得：△ABP'≌△ADP，得出∠AP'B=∠APD=90°，由勾股定理得出AP'=AP=$\sqrt{A{D}^{2}-D{P}^{2}}$=4，在Rt△ABP'中，由三角形面積求出P'F=$\frac{12}{5}$，得出P'E=$\frac{13}{5}$，即可求出△CDP'的面積；
②如圖所示：DP、DP'、CP'，過點(diǎn)P'作AB的垂線，交AB于F，交CD于E，同理得：P'F=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，得出P'E=5+$\frac{12}{5}$=$\frac{37}{5}$，即可求出△CDP'的面積．

解答 發(fā)現(xiàn)：
解：連接DP，如圖1所示：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP'=AP，∠PAP'=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB=AD=5，∠BAD=90°，
∴∠BAD-∠DAP'=∠PAP'-∠DAP'，
即∠BAP'=∠DAP，
在△ABP'和△ADP中，$\left\{\begin{array}{l}{AP'=AP}&{\;}\\{∠BAP'=∠DAP}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP'≌△ADP（SAS），
∴BP'=DP=3；
故答案為：3；
思考：
解：當(dāng)PD⊥AD時(shí)，如圖2所示：
△APD的面積最大=$\frac{1}{2}$×5×3=7.5；
當(dāng)P在AD上時(shí)，PP'最小，
此時(shí)P'在AB上，AP'=AP=5-3=2，
∵∠PAP'=90°，
∴PP'=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
當(dāng)點(diǎn)P在射線BD上時(shí)，如圖3所示：
點(diǎn)P與點(diǎn)B之間的距離最大，
此時(shí)∠ABP'=∠ADP=180°-45°=135°，
∴∠CBP'=135°-90°=45°；
故答案為：7.5；2$\sqrt{2}$；45°；
探究：
解：分兩種情況：①如圖4所示：
連接DP、DP'、CP'，過點(diǎn)P'作AB的垂線，交AB于F，交CD于E，
則EF⊥CD，EF=BC=5，
∵AP是圓D的切線，
∴∠APD=90°，
由發(fā)現(xiàn)得：△ABP'≌△ADP，
∴∠AP'B=∠APD=90°，AP'=AP=$\sqrt{A{D}^{2}-D{P}^{2}}$=4，
在Rt△ABP'中，P'F=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴P'E=5-$\frac{12}{5}$=$\frac{13}{5}$，
∴△CDP'的面積=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{13}{5}$=$\frac{13}{2}$；
②如圖5所示：DP、DP'、CP'，過點(diǎn)P'作AB的垂線，交AB于F，交CD于E，
同理得：P'F=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∴P'E=5+$\frac{12}{5}$=$\frac{37}{5}$，
∴△CDP'的面積=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{37}{5}$=$\frac{37}{2}$；
綜上所述，當(dāng)AP與圓D相切時(shí)，△CDP′的面積為$\frac{13}{2}$或$\frac{37}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、切線的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、分類討論等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．