Question

18．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若CE=1，BC=6，求半圓O的半徑的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以O(shè)D∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據(jù)切線的判定方法即可得到結(jié)論；
（2）連接AD．由AB為半圓O的直徑，得到∠ADB=90°，根據(jù)垂直的定義得到∠DEC=∠ADB=90°．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠OBD．
∴∠ACB=∠ODB．
∴OD∥AC，
∴∠DEC=∠ODE．
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°．
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
∵DE過半徑OD的外端點(diǎn)D，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接AD．
∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=∠ADB=90°．
∵AB=AC，BC=6，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC=3，
又∵∠ECD=∠DBA，
∴△CED∽△BDA，
∴$\frac{CE}{BD}$=$\frac{CD}{BA}$．
∵CE=1，
∴$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{BA}$．
∴AB=9，
∴半圓O的半徑的長為4.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點(diǎn)且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)．