Question

10．如圖，直線與x軸、y軸交于A、B兩點，且OA=OB=1，點P是反比例函數(shù)$y=\frac{1}{2x}$圖象在第一象限的分支上的任意一點，P點坐標為（a，b），由點P分別向x軸，y軸作垂線PM、PN，垂足分別為M、N；PM、PN分別與直線交于點E，點F．
（1）設(shè)交點E、F都在線段AB上，分別求出點E、點F的坐標．（用含a的代數(shù)式表示）
（2）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或一定不相似，請簡短說明理由．
（3）當點P在曲線上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個角和它的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）首先設(shè)直線EF解析式為y=kx+b，由題知A（1，0），B（0，1），然后利用待定系數(shù)法求得直線EF的解析式，又由點P是反比例函數(shù)$y=\frac{1}{2x}$圖象上，可得$b=\frac{1}{2a}$，繼而求得答案；
（2）由OA=OB=1，可得AB=$\sqrt{2}$，∠OBA=∠OAB=45°，繼而表示出BE，AF，即可證得BE•AF=OA•OB=1，則可得$\frac{BE}{OB}=\frac{OA}{AF}$，∠OBA=∠OAB=45°，證得△AOF∽△BEO；
（3）由△AOF∽△BEO，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，證得∠FOA=∠OEB，則可得∠FOE=∠EAO=45°．

解答 解：（1）設(shè)直線EF解析式為y=kx+b，
由題知A（1，0），B（0，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線EF的解析式為：y=-x+1；
∵點P（a，b）是反比例函數(shù)$y=\frac{1}{2x}$圖象的點，
∴$b=\frac{1}{2a}$，
∴E（a，1-a），F(xiàn)$（1-\frac{1}{2a}，\frac{1}{2a}）$；

（2）△AOF與△BOE一定相似．
∵OA=OB=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，∠OBA=∠OAB=45°，
∴AE=$\sqrt{2}$AM=$\sqrt{2}$（1-a），BF=$\sqrt{2}$BN=$\sqrt{2}$（1-$\frac{1}{2a}$），
∴BE=BA-AE=$\sqrt{2}$a，AF=BA-BF=$\frac{\sqrt{2}}{2a}$，
∴BE•AF=$\frac{\sqrt{2}}{2a}$•$\sqrt{2}$a=1，
∵OA•OB=1，
∴BE•AF=OA•OB，
∴$\frac{BE}{OB}=\frac{OA}{AF}$，∠OBA=∠OAB=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∠FOE=45°角度始終不變．
∵△AOF∽△BEO，
∴∠FOA=∠OEB，
∴∠FOE+∠EOA=∠EOA+∠EAO，
得∠FOE=∠EAO=45°．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)．注意求得直線EF的解析式，證得BE•AF=OA•OB=1是解此題的關(guān)鍵．