Question

13．如圖①，長方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E為CD的中點(diǎn)．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A-B-C的方向在長方形邊上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（圖②為備用圖）
（1）當(dāng)P在AB上，t=4s時(shí)，△APE的面積為長方形面積的$\frac{1}{3}$；
（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，△APE為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的$\frac{1}{3}$，根據(jù)題意得：△APE的面積=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$t×4=$\frac{4×6}{3}$，從而求得t值；
（2）①當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)△AEP為直角三角形，此時(shí)∠APE為直角，t=3；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到BC上時(shí)，∠AEP為直角時(shí)利用相似三角形求得PB的長即可求得t值．

解答 解：（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的$\frac{1}{3}$，
根據(jù)題意得：AP=t，
∴△APE的面積=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$t×4=$\frac{4×6}{3}$，
解得：t=4，
∴4秒后，△APE的面積為長方形面積的$\frac{1}{3}$；
（2）①當(dāng)t=3時(shí)，AP=3，如圖1所示：
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴CE=DE=3，
∵四邊形ABCD是矩形，
BC=AD=4，
∴四邊形APED是矩形，
∴PE⊥AB，
∴△APE是直角三角形，
②當(dāng)P在BC上時(shí)，若△APE是直角三角形，∠AED+∠PEC=90°，如圖2所示：
∵∠ADE=∠ECP=90°，
∴∠AED=∠EPC，
∴△ADE∽△ECP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CE}{AD}$，
解得：CP=$\frac{CE•DE}{AD}$=$\frac{3×3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
∴PB=BC-PC=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴t=6+$\frac{7}{4}$=$\frac{31}{4}$；
綜上所述：當(dāng)t=3s或t=$\frac{31}{4}$s時(shí)，△APE為直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積、動(dòng)點(diǎn)問題；動(dòng)點(diǎn)問題更是中考中的熱點(diǎn)考題，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是能夠化動(dòng)為靜，利用直角三角形的性質(zhì)求解．