Question

8．已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB′C′的位置，連接C′B．
（1）請你判斷BC′與AB′的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求BC′的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接BB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AB′，∠BAB′=60°，C′B′=C′A′=CA=CB=$\sqrt{2}$，則可判斷△ABB′是等邊三角形，所以AB=BB′，而C′B′=C′A′，于是可判斷BC′垂直平分AB′；
（2）延長BC′交AB′于D，如圖，在Rt△AC′B′中，利用等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得C′D=$\frac{1}{2}$AB=1，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB′=$\sqrt{3}$，然后計算BD-C′D即可．

解答 解：（1）BC′垂直平分AB′．理由如下：
如圖，連接BB′，
∵△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，C′B′=C′A′=CA=CB=$\sqrt{2}$，
∴△ABB′是等邊三角形，
∴AB=BB′，
而C′B′=C′A′，
∴BC′垂直平分AB′；
（2）延長BC′交AB′于D，如圖，
在Rt△AC′B′中，AB′=$\sqrt{2}$AC′=2，
∵BC′垂直平分AB′，
∴C′D=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵BD為等邊三角形△ABB′的高，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB′=$\sqrt{3}$，
∴BC′=BD-C′D=$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理．