Question

1．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形的四條邊上，EF與GH交于點O，連結(jié)HE，GF．

（1）如圖1，若HE∥GF，求證：△AEH∽△CFG；
（2）當點E，G分別與點A，B重合時，如圖2所示，若點F是CD的中點，且∠AHB=∠AFB，求AH+BH的值；
（3）當GH⊥EF，HE∥FG時，如圖3所示，若FO：OE=3：2，且陰影部分的面積等于$\frac{26}{15}$，求EF，HG的長．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，∠A=∠C=90°，只要證明∠AEH=∠CFG即可證明；
（2）如圖2中，過點A作AR⊥BF于R．AF=BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，由S_△ABF=$\frac{1}{2}$•BF•AR=$\frac{1}{2}$×3×2，推出AR=$\frac{3}{5}\sqrt{10}$，RF=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，由△BAH∽△ARF，AB：AH：BH=AR：RF：AF=3：4：5，AB=2，可得AH=$\frac{8}{3}$，BH=$\frac{10}{3}$；
（3）如圖3中，過F、G分別作FM⊥AB于M，GN⊥AD于N，則△FME∽△GNH，可得$\frac{EF}{GH}$=$\frac{FM}{GN}$=$\frac{3}{2}$，設(shè)OF=9x，OE=6x，則GO=6x，OH=4x，由S_陰=S_△FOG+S_△EOH=$\frac{1}{2}$•6x•9x+$\frac{1}{2}$•6x•4x=39x²=$\frac{26}{15}$，解得x=$\frac{\sqrt{10}}{15}$，由此即可解決問題；

解答 解：（1）如圖1中，

在矩形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠AEF=∠CFE，
∵HE∥GF，
∴∠HEF=∠GFE，
∴∠AEH=∠CFG，
∴△AEH∽△CFG．

（2）如圖2中，過點A作AR⊥BF于R．

∵AF=BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，S_△ABF=$\frac{1}{2}$•BF•AR=$\frac{1}{2}$×3×2，
∴AR=$\frac{3}{5}\sqrt{10}$，
∴RF=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
∵∠AHB=∠AFB，
∴△BAH∽△ARF，
∵AB：AH：BH=AR：RF：AF=3：4：5，
∵AB=2，
∴AH=$\frac{8}{3}$，BH=$\frac{10}{3}$，
∴AH+BH=6．

（3）如圖3中，過F、G分別作FM⊥AB于M，GN⊥AD于N，則△FME∽△GNH，

∴$\frac{EF}{GH}$=$\frac{FM}{GN}$=$\frac{3}{2}$，設(shè)OF=9x，OE=6x，則GO=6x，OH=4x，
∴S_陰=S_△FOG+S_△EOH=$\frac{1}{2}$•6x•9x+$\frac{1}{2}$•6x•4x=39x²=$\frac{26}{15}$，
解得x=$\frac{\sqrt{10}}{15}$，
∴EF=15x=$\sqrt{10}$，GH=10x=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$．

點評 本題考查相似形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．