Question

9．在平面直角坐標系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根．比如對于方程x²-5x+2=0，操作步驟是：
第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐標平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B；
第三步：在移動過程中，當(dāng)三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C的橫坐標m即為該方程的一個實數(shù)根（如圖1）；
第四步：調(diào)整三角板直角頂點的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點D處時，點D的橫坐標n即為該方程的另一個實數(shù)根．

（1）在圖2中，按照“第四步”的操作方法作出點D（請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡）；
（2）結(jié)合圖1，請證明“第三步”操作得到的m就是方程x²-5x+2=0的一個實數(shù)根；
（3）上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，b²-4ac≥0）的實數(shù)根，請你直接寫出一對固定點的坐標；
（4）實際上，（3）中的固定點有無數(shù)對，一般地，當(dāng)m₁，n₁，m₂，n₂與a，b，c之間滿足怎樣的關(guān)系時，點P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂）就是符合要求的一對固定點？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“第四步”的操作方法作出點D即可；
（2）過點B作BD⊥x軸于點D，根據(jù)△AOC∽△CDB，可得$\frac{AO}{CD}$=$\frac{OC}{BD}$，進而得出$\frac{1}{5-m}$=$\frac{m}{2}$，即m²-5m+2=0，據(jù)此可得m是方程x²-5x+2=0的實數(shù)根；
（3）方程ax²+bx+c=0（a≠0）可化為x²+$\frac{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，模仿研究小組作法可得一對固定點的坐標；
（4）先設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得$\frac{{n}_{1}}{x-{m}_{1}}$=$\frac{{m}_{2}-x}{{n}_{2}}$，進而得到x²-（m₁+m₂）x+m₁m₂+n₁n₂=0，再根據(jù)ax²+bx+c=0，可得x²+$\frac{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，最后比較系數(shù)可得m₁，n₁，m₂，n₂與a，b，c之間的關(guān)系．

解答 解：（1）如圖所示，點D即為所求；


（2）如圖所示，過點B作BD⊥x軸于點D，

根據(jù)∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，
∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{OC}{BD}$，
∴$\frac{1}{5-m}$=$\frac{m}{2}$，
∴m（5-m）=2，
∴m²-5m+2=0，
∴m是方程x²-5x+2=0的實數(shù)根；

（3）方程ax²+bx+c=0（a≠0）可化為
x²+$\frac{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，
模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（-$\frac{a}$，$\frac{c}{a}$）或A（0，$\frac{1}{a}$），B（-$\frac{a}$，c）等；

（4）如圖，P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂），

設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得$\frac{{n}_{1}}{x-{m}_{1}}$=$\frac{{m}_{2}-x}{{n}_{2}}$，
上式可化為x²-（m₁+m₂）x+m₁m₂+n₁n₂=0，
又∵ax²+bx+c=0，即x²+$\frac{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，
∴比較系數(shù)可得m₁+m₂=-$\frac{a}$，
m₁m₂+n₁n₂=$\frac{c}{a}$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列出比例式并轉(zhuǎn)化為等積式．