Question

11．如圖，已知拋物線(xiàn)與x軸交于A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜0），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D．
①求線(xiàn)段PD的長(zhǎng)的最大值；②當(dāng)BD=2CD時(shí)，求t的值；
（3）若點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)M，使得以B、C、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式；
（2）①過(guò)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，如圖1，先利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC解析式為y=-x+3，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t²+2t+3），則E（t，-t+3），所以PE=-t²+3t，再判定△PDE為等腰直角三角形得到PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$PE，所以PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（-t²+3t），然后就利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
②過(guò)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，通過(guò)證明△BOC∽△BGD，利用相似比可求出DG=2，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，于是利用二次函數(shù)解析式可確定D點(diǎn)坐標(biāo)，接著求出直線(xiàn)PD解析式為y=x+1，然后解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$可得到P點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到t的值；
（3）討論：當(dāng)四邊形BQCM為平行四邊形或四邊形BCQM為平行四邊形或四邊形BCMQ為平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)的平移坐標(biāo)規(guī)律確定M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)解析式確定M點(diǎn)的縱坐．

解答 解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+bx+c
將A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\\ c=3\end{array}\right.$
∴拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x²+2x+3；
（2）①過(guò)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)E，如圖1，
設(shè)直線(xiàn)BC解析式為y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}3k+b=0\\ b=3\end{array}\right.$，解得：k=-1，b=3，
∴直線(xiàn)BC解析式為y=-x+3，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，-t²+2t+3），則E（t，-t+3），
∴PE=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°
∵PD⊥BC，
∴∠PED=45°，
∴△PDE為等腰直角三角形，
∴PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$PE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（-t²+3t）=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$${（t-\frac{3}{2}）^2}+$$\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，PD的最大值為$\frac{{9\sqrt{2}}}{8}$；
②過(guò)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，如圖2，則DG∥OC
∴△BOC∽△BGD，
∴$\frac{DG}{OC}=\frac{BD}{BC}$，
∵BD=2CD
∴BD：BC=2：3，
∴DG=$\frac{2}{3}$OC=2，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，
把y=2代入y=-x+3得x=1，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
設(shè)直線(xiàn)PD解析式為y=x+b
把D（1，2）代入上式得2=1+b，解得b=1
∴直線(xiàn)PD解析式為y=x+1，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴P（2，3），
即當(dāng)BD=2CD時(shí)，t的值為2；
（3）當(dāng)四邊形BQCM為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位可得到C點(diǎn)，則點(diǎn)B向左平移1個(gè)單位得到M點(diǎn)，
即M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)x=2時(shí)，y=-x²+2x+3=3，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）；
當(dāng)四邊形BCQM為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)C向右平移1個(gè)單位可得到Q點(diǎn)，則點(diǎn)B向右平移1個(gè)單位可得到M點(diǎn)，
即M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)x=4時(shí)，y=-x²+2x+3=-5，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-5）；
當(dāng)四邊形BCMQ為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)B向左平移2個(gè)單位可得到Q點(diǎn)，則點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位得到M點(diǎn)，
即M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，當(dāng)x=-2時(shí)，y=-x²+2x+3=-5，此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-5），
綜上所述，滿(mǎn)足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），（4，-5），（-2，-5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；會(huì)利用相似比求線(xiàn)段的長(zhǎng)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握點(diǎn)的平移的坐標(biāo)規(guī)律；會(huì)利用分類(lèi)討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．