Question

6．請你認真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題．

（1）初步探究：如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD邊AB、AD上，DE⊥CF于點P，小芳看到該圖后，發(fā)現(xiàn)DE=CF，這是因為∠EDA和∠FCD都是∠EDC的余角，就會由ASA判定得出△ADE≌△DCF．
（2）類比發(fā)現(xiàn)：小芳進一步思考，如果四邊形ABCD是矩形，如圖（2），且DE⊥CF于點P，她發(fā)現(xiàn)$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$，請你替她完成證明；
（3）拓展延伸：如圖（3），若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EPC滿足什么關系時，使得$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立？并證明你的結論．

Answer 1

分析 （2）根據(jù)∠A=∠ADC=90°，DE⊥CF，證明∠ADE=∠DCF，得到△ADE∽△DCF，得到答案；
（3）在AD的延長線上取點M，使CM=CF，證明△ADE∽△DCM，得到答案．

解答 （2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，又∵DE⊥CF，
∴∠ADE=∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；
（3）當∠B+∠EPC=180°時，$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$成立．
證明：在AD的延長線上取點M，使CM=CF，
則∠CMF=∠CFM，
∵AD∥BC，
∴∠CFM=∠FCB，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDM，又∵∠B+∠EPC=180°，
∴∠AED=∠FCB，
∴∠CMF=∠AED，
∴△ADE∽△DCM，
∴$\frac{DE}{CM}$=$\frac{AD}{CD}$，即$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$．

點評 本題考查的是正方形、矩形和平行四邊形的性質(zhì)，靈活運用三角形全等和相似的判定和性質(zhì)、正確作出輔助線是解題的關鍵．