Question

10．如圖，正方形ABCD，AB=6，點(diǎn)E在邊CD上，CE=2DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF，下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S_△FCA=3.6，其中正確結(jié)論是①②③④⑤．

Answer 1

分析 先計(jì)算出DE=2，EC=4，再根據(jù)折疊的性質(zhì)AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根據(jù)“HL”可證明Rt△ABG≌Rt△AFG，則GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；設(shè)BG=x，則GF=x，CG=BC-BG=6-x，在Rt△CGE中，根據(jù)勾股定理得（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3，則BG=CG=3，則點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)；同時(shí)得到GF=GC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根據(jù)平行線的判定方法得到CF∥AG；過(guò)F作FH⊥DC，則△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比為$\frac{2}{5}$，可計(jì)算S_△FGC．根據(jù)同底等高的三角形的面積相等即可得到結(jié)論．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折疊使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，所以①正確；
設(shè)BG=x，則GF=x，C=BC-BG=6-x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6-x，
∵CG²+CE²=GE²，
∴（6-x）²+4²=（x+2）²，解得x=3，
∴BG=3，CG=6-3=3
∴BG=CG，所以②正確；
∵EF=ED，GB=GF，
∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正確；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF∥AG，所以④正確；
過(guò)F作FH⊥DC
∵BC⊥DH，
∴FH∥GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴$\frac{EH}{GC}$=$\frac{EF}{EG}$，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴△EFH∽△EGC，
∴相似比為：$\frac{EH}{GC}$=$\frac{2}{5}$，
∴S_△FGC=S_△GCE-S_△FEC=$\frac{1}{2}$×3×4-$\frac{1}{2}$×4×（ $\frac{2}{5}$×3）=$\frac{18}{5}$=3.6，
連接AC，
∵CF∥AG，
∴S_△FCA=S_△FGC=3.6，
所以⑤正確．
故正確的有①②③④⑤，
故答案為：①②③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理和正方形的性質(zhì)．