Question

18．如圖，在矩形OABC紙片中，OA=7，OC=5，D為BC邊上動(dòng)點(diǎn)，將△OCD沿OD折疊，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線l：y=-x+7上時(shí)，記為點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊OA上時(shí)，記為點(diǎn)G．
（1）求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線l上時(shí)，求CD的長(zhǎng)；
（4）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)E在直線l上，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，由翻折的特性可知OE=OC，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出關(guān)于x的無(wú)理方程，解方程即可求出x值，在代入點(diǎn)E的坐標(biāo)中即可得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）由OG=OC即可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)E、F、G的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，5）（m＞0），則CD=m，利用ED=CD，F(xiàn)D=CD即可得出關(guān)于m的無(wú)理方程，解方程即可求出m的值，從而得出CD的長(zhǎng)度；
（4）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，-n²+6n-5），由兩點(diǎn)間的距離公式找出PE、PF、EF的長(zhǎng)，根據(jù)三個(gè)角分別為直角，利用勾股定理即可得出關(guān)于n的方程，解方程即可求出n的值，再代入點(diǎn)P坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)E在直線l：y=-x+7上，
∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，-x+7），
∵OE=OC=5，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（-x+7）^{2}}$=5，
解得：x₁=3，x₂=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，3）．
（2）∵OG=OC=5，且點(diǎn)G在x正半軸上，
∴G（5，0）．
設(shè)經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將E（3，4）、F（4，3）、G（5，0）代入y=ax²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=4}\\{16a+4b+c=3}\\{25a+5b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴經(jīng)過(guò)E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=-x²+6x-5．
（3）∵BC∥x軸，且OC=5，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，5）（m＞0），則CD=m．
∵ED=CD或FD=CD，
∴$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-5）^{2}}$=m或$\sqrt{（4-m）^{2}+（3-5）^{2}}$=m，
解得：m=$\frac{5}{3}$或m=$\frac{5}{2}$．
∴當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線l上時(shí)，CD的長(zhǎng)為$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{2}$．
（4）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，-n²+6n-5），
∵E（3，4），F(xiàn)（4，3），
∴EF=$\sqrt{（4-3）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$，PE=$\sqrt{（n-3）^{2}+（-{n}^{2}+6n-5-4）^{2}}$，PF=$\sqrt{（n-4）^{2}+（-{n}^{2}+6n-5-3）^{2}}$．
以E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的直角三角形有三種情況：
①當(dāng)∠EFP為直角時(shí)，有PE²=PF²+EF²，
即（n-3）²+（-n²+6n-9）²=2+（n-4）²+（-n²+6n-8）²，
解得：n₁=1，n₂=4（舍去），
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；
②當(dāng)∠FEP為直角時(shí)，有PF²=PE²+EF²，
即（n-4）²+（-n²+6n-8）²=2+（n-3）²+（-n²+6n-9）²，
解得：n₃=2，n₄=3（舍去），
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；
③當(dāng)∠EPF為直角時(shí)，有EF²=PE²+PF²，
即2=（n-3）²+（-n²+6n-9）²+（n-4）²+（-n²+6n-8）²，
n⁴-12n³+54n²-109n+84=n⁴-4n³-8n³+32n²+22n²-88n-21n+84=（n-4）（n³-8n²+22n-21）=（n-4）（n³-3n²-5n²+15n+7n-21）=（n-4）（n-3）（n²-5n+7）=0，
∵在n²-5n+7=0中△=（-5）²-4×7=-3＜0，
∴n²-5n+7≠0．
解得：n₅=3（舍去），n₆=4（舍去）．
綜上可知：在（2）中的拋物線上存在點(diǎn)P，使以E，F(xiàn)，P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）或（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)OE=OC得出關(guān)于x的無(wú)理方程；（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（3）根據(jù)ED=CD（FD=CD）找出關(guān)于m的方程；（4）分三個(gè)角分別為直角三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過(guò)程稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，解決該題型題目時(shí)，利用翻折的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離公式找出方程是關(guān)鍵．