Question

3．連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為多邊形的對角線．
（1）

對角線條數(shù)分別為2、5、9、$\frac{n（n-3）}{2}$．
（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數(shù)n的值；如果不可以，請說明理由．
（3）若一個n邊形的內(nèi)角和為1800°，求它對角線的條數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為a_n，根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式即可求出結(jié)論；
（2）假設(shè)可以，根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，可求出邊數(shù)，再套用多邊形對角線條數(shù)公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為a_n，
則a₄=$\frac{4×（4-3）}{2}$=2，a₅=$\frac{5×（5-3）}{2}$=5，a₆=$\frac{6×（6-3）}{2}$=9，…，a_n=$\frac{n（n-3）}{2}$．
故答案為：2；5；9；$\frac{n（n-3）}{2}$．
（2）假設(shè)可以，根據(jù)題意得：
$\frac{n（n-3）}{2}$=20，
解得：n=8或n=-5（舍去），
∴n邊形可以有20條對角線，此時邊數(shù)n為八．
（3）∵一個n邊形的內(nèi)角和為1800°，
∴180°×（n-2）=1800°，
解得：n=12，
∴$\frac{n（n-3）}{2}$=$\frac{12×（12-2）}{2}$=60．
答：這個多邊形有60條對角線．

點評 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、多邊形的對角線以及多邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式求出多邊形的對角線條數(shù)；（2）根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，列出關(guān)于n的一元二次方程；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，求出邊數(shù)n．