Question

10．拋物線y=x²+2mx+$\frac{{m}^{2}}{4}$（m＜0）的頂點(diǎn)為P，拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、B，當(dāng)△PAB是等邊三角形時(shí)，m的值為-2．

Answer 1

分析 先求出點(diǎn)P、A、B的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)P到x軸的距離，AB之間的距離，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列出方程即可求出m的值．

解答 解：令y=0代入y=x²+2mx+$\frac{{m}^{2}}{4}$，
∴x²+2mx+$\frac{{m}^{2}}{4}$=0，
∴x=-m+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m或x=-m-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，（m＜0）
∴AB=-$\sqrt{3}$m
拋物線的對(duì)稱軸為x=-m，
∴令x=-m，
∴y=m²-2m²+$\frac{{m}^{2}}{4}$=-$\frac{3}{4}{m}^{2}$
∴點(diǎn)P到x軸的距離為：$\frac{3}{4}$m²，
∴$\frac{3}{4}$m²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$m×$\sqrt{3}$，
∴m=-2，
故答案為：-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵求出A、B、P的坐標(biāo)然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)列出方程求出m的值，本題屬于中等題型．