Question

19．如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，連接DF，
（1）求證：CF=2AF；
（2）求tan∠CFD的值．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論；
（2）作DH⊥AC于H，證出DH∥BE，得出比例式AF：FH=AE：ED=1：1，AF=FH=HC，設(shè)AF=a，則AH=2a，CH=a，證明△ADH∽△DCH，得出對應(yīng)邊成比例求出DH=$\sqrt{2}$a，再由三角函數(shù)定義即可得出答案．

解答 （1）證明：∵E是AD的中點，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴BC=2AE，△AEF∽△CBF，
∴AF：CF=AE：BC=1：2，
∴CF=2AF；

（2）解：作DH⊥AC于H，如圖所示：
∵BE⊥AC，
∴DH∥BE，
∴AF：FH=AE：ED=1：1，
∴AF=FH=HC，
設(shè)AF=a，則AH=2a，CH=a，
∵∠DAH=∠CDH=90°-∠ADH，∠AHD=∠DHC=90°，
∴△ADH∽△DCH，
∴$\frac{DH}{HC}=\frac{AH}{DH}$，即$\frac{DH}{a}=\frac{2a}{DH}$，
解得：DH=$\sqrt{2}$a，
∴tan∠CFD=$\frac{DH}{FH}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．