Question

20．如圖，已知以AE為直徑的半圓圓心為O，半徑為5，矩形ABCD的頂點(diǎn)B在直徑AE上，頂點(diǎn)C在半圓上，AB=8，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)．
（1）矩形ABCD的邊BC的長(zhǎng)為4；
（2）將矩形沿直線AP折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′．
①點(diǎn)B′到直線AE的最大距離是8；
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖所示，AB′交DC于點(diǎn)M．
求證：四邊形AOCM是菱形，并通過(guò)證明判斷CB′與半圓的位置關(guān)系；
③當(dāng)EB′∥BD時(shí)，直接寫出EB′的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，在Rt△OBC中，求出BC即可．
（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)B′在直線AD上時(shí)，點(diǎn)B'到 AE的距離最大，最大距離為8．
②首先證明四邊形AOCM是平行四邊形，由OA=OC即可判定四邊形AOCM是菱形．只要證明∠OCB′=90°即可判定CB′與半圓相切．
③如圖3中，當(dāng)EB′∥BD時(shí)，作AF⊥EB′于F．由△AEF∽△DBA，可得$\frac{EF}{AB}$=$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AF}{AD}$，推出EF=4$\sqrt{5}$，AF=2$\sqrt{5}$，在Rt△AFB′中，F(xiàn)B′=$\sqrt{AB{′}^{2}+A{F}^{2}}$=2$\sqrt{11}$，即可推出EB′=4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{11}$．如圖4中，當(dāng)EB′∥BD時(shí)，作AF⊥EB′于F，同法可求EB′．

解答 解：（1）如圖1中，連接OC．

在Rt△BOC中，∵∠OBC=90°，OC=5，OB=3，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
故答案為4．

（2）①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)B′在直線AD上時(shí)，點(diǎn)B'到 AE的距離最大，最大距離為8．
故答案為8．

②證明：如圖2中，

由折疊可知：∠OAC=∠MAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠OCA=∠MAC．
∴OC∥AM．
又∵CM∥OA，
∴四邊形AOCM是平行四邊形．
又∵OA=OC，
∴□AOCM是菱形．  
結(jié)論：CB′與半圓相切．        
理由：由折疊可知：∠ABˊC=∠ABC=90°．
∵OC∥AM
∴∠ABˊC+∠BˊCO=180°．
∴∠BˊCO=90°．
∴CBˊ⊥OC．
∴CBˊ與半圓相切．                

③如圖3中，當(dāng)EB′∥BD時(shí)，作AF⊥EB′于F．

由△AEF∽△DBA，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{AE}{BD}$=$\frac{AF}{AD}$，
∴EF=4$\sqrt{5}$，AF=2$\sqrt{5}$，
在Rt△AFB′中，F(xiàn)B′=$\sqrt{AB{′}^{2}+A{F}^{2}}$=2$\sqrt{11}$，
∴EB′=4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{11}$．
如圖4中，當(dāng)EB′∥BD時(shí)，作AF⊥EB′于F，

同法可得EF=4$\sqrt{5}$，F(xiàn)B′=2$\sqrt{11}$，
∴EB′=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{11}$．
   綜上所述，滿足條件的EB′的長(zhǎng)為4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{11}$或4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、矩形的性質(zhì)、翻折變換、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．